Finite Mathematik Beispiele

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 p^{3}$ heraus.

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $16 p^{2}$ heraus.

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $28 p$ heraus.

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 48$ heraus.

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ heraus.

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ heraus.

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Schritt 2.2.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ heraus.

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 2.2.2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Addiere $1$ und $4$ .

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$5 + 7 - 12$

Schritt 2.2.2.1.3.7

Addiere $5$ und $7$ .

$12 - 12$

Schritt 2.2.2.1.3.8

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $p - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

Schritt 2.2.2.1.5

Dividiere $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ durch $p - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $p^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $p$ .

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

Schritt 2.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $p^{3} - p^{2}$

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Schritt 2.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 p^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Schritt 2.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

Schritt 2.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 p^{2} - 5 p$

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

Schritt 2.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

Schritt 2.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Schritt 2.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 p$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Schritt 2.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

Schritt 2.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 p - 12$

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

Schritt 2.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

Schritt 2.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$p^{2} + 5 p + 12$

Schritt 2.2.2.1.6

Schreibe $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Schritt 2.4

Setze $p - 1$ gleich $0$ und löse nach $p$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $p - 1$ gleich $0$ .

$p - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$p = 1$

Schritt 2.5

Setze $p^{2} + 5 p + 12$ gleich $0$ und löse nach $p$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $p^{2} + 5 p + 12$ gleich $0$ .

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ nach $p$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $p$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $48$ von $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Schritt 2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $48$ von $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.4.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{23}$ heraus.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ heraus.

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 2.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Schritt 2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $48$ von $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{23}$ heraus.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ heraus.

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 2.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ wahr machen.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 2.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$4 p^{3}$

Schritt 2.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$4$

Schritt 2.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${p | p \in ℝ}$

Schritt 4